Как дети изучают математику с легкостью, когда они сами контролируют процесс обучения.

Пост обновлен 18 июля 2019 г.

Математика вне школы - это веселое, полезное и радостное занятие.



Мы боимся и ненавидим ее, мы восхищаемся но и с подозрением относимся к тем, кто в ней хорош, мы придаем ей такое значение, что заставляем детей заниматься (или притворяться, что занимаются) ей почти каждый день каждого года, который они проводят в школе. И наконец мы используем ее в качестве одного из самых важных критериев для поступления в ВУЗ. Мы ставим математику на пьедестал, а затем отводим глаза, а то и плюем на нее - как происходит с большинством вещей, которые мы возносим на пьедестал.


Математика - это тот самый школьный предмет, с которым очень сложно жульничать, именно это делает его таким пугающим для многих. На каждый вопрос есть только один правильный ответ. К тому же многие уверены, что математические способности отражают общий уровень интеллекта. Быть неуспешным в математике значит показать себя неспособным и к логике, так что страх неудачи в математике еще больше, чем в других школьных предметах, а страх неудачи всегда препятствует обучению. Я думаю, что вес математики в общей оценке на SAT (амер. ЕГЭ) так велик именно потому, что люди считают ее показателем общей способности мыслить, но они ошибаются.


Чтобы сделать первый шаг к пониманию математики надо свергнуть ее с пьедестала. Реальные жизненные проблемы, которые действительно важны для нас - это например такие: На ком мне жениться? Стоит ли мне выходить замуж? Надо ли разрешить однополые браки? Какую мне выбрать карьеру и как к ней подготовиться? Если я изобрету продукт Х, купят ли его люди? Должны ли корпорации обладать теми же конституционными правами, что и люди? Как лучше всего избавиться от запаха в туалете? Математика играет очень небольшую (если вообще играет) роль в решении таких задач. Да и сами эти задачи не имеют определенный правильных и неправильных ответов, которые можно вывести на основании какой-то формулы. Мудрость, а не математика помогает нам решать их.


Мудрость - это способность собрать воедино наши ценности, предпочтения, общие познания о мире таким образом, чтобы прийти к жизнеспособному решению проблем, с которыми мы сталкиваемся - решениям, которые способствуют нашему собственному счастью и счастью других людей и уменьшают страдания.

У математики есть свое, безусловно важное в современном мире назначение, но она не дает ответа на все вопросы. Люди были разумны задолго до появления математики. Многие из самых умных моих знакомых - даже из лучших ученых - не очень-то хороши в математике.


Второй шаг - это понимание, что математика на самом деле не очень-то сложна. В ней нет ничего магического. Вам не нужен какой-то особый природный дар, помимо нормального человеческого мозга, чтобы понимать ее.

На изучение этого предмета не требуется тысячи часов упорной работы, к которой мы принуждаем школьников. На самом деле именно эти тысячи часов работы ради оценки, а не ради удовольствия, заставляют нас полагать, что математика настолько сложная и страшная.

Лучшими доказательствами того, что математика не сложна, являются анскулеры и ученики школы Садбери Вэлли. Анскулеры - это семьи, обучающие детей дома без использования определенных программ и без формального оценивая их результатов. В школах по модели Садбери дети всех возрастов свободны в течение всего дня взаимодействовать с кем хотят и следовать собственным интересам. Анскулеры и дети из Садбери школ разбивают все наши представления о том, что следует делать детям, чтобы преуспеть в нашем обществе. Все свидетельствует в пользу того, что эти дети вырастают счастливыми, продуктивными, этичными членами общества, продолжая нести ответственность за свою жизнь и учебу и во взрослом состоянии.


Несколько недель назад я пригласил читателей этого блога прислать мне истории о самонаправленном изучении математики. Я получил 61 ответ в виде прекрасно написанных эссе, за что я очень благодарен. Большинство историй пришли от родителей анскулеров, которые описывали процесс обучения математики, который они наблюдали у своих детей. Я потратил несколько дней, чтобы проанализировать и упорядочить эти истории, выделить общие темы. Наконец эта работа окончена, и я готов поделиться результатами. Для удобства я разделил все истории на 4 категории в соответствии с основным мотивом, побуждающим детей изучать математику. Я обозначил их так: математика как игра (или чистая математика), математика как инструмент (для решения повседневных задач), дидактическая математика (изучение по плану или программе, определенным не самим учеником) и математика для поступления в колледж (изучение исключительно с целью сдать тест). Далее мои комментарии выделены курсивом.


Математика как игра


С удовольствием начинаю с игровой математики или чистой математики. Это то, чем занимаются настоящие математики, а еще четырехлетки.

Чистая математика делает с числами то же, что со словами делает поэзия, а со звуками - музыка.

Ниже я опишу случаи, когда математика используется как инструмент для игры, но сейчас я говорю о той ситуации, когда сама математика и ЕСТЬ игра, когда математикой занимаются исключительно для развлечения и ради ее красоты. Чистая математика подразумевает обнаружение или создание закономерностей в числах, также как поэзия - в словах, музыка - в звуках, изобразительное искусство - в визуальных образах.


Четырехлетки имеют исключительную способность все вокруг превращать в игру. Они играют со словами - и вот они поэты. Они играют со звуками - и вот они уже музыканты. Они играют с карандашами, красками и пластилином - и они художники. Играют они и с числами - и вот они математики в чистом виде. Я заметил, что ученики в Садбери Вэлли, свободные от любой обязательной программы, не прекращают такую игру, когда становятся постарше. Они продолжают играть со словами, звуками, красками и числами и часто становятся очень хороши в такой игре. То же происходит и с анскулерами.


Самый простой вариант математической игры, характерный для маленьких детей, связан с открытием, что числа располагаются в определенной последовательности, которая повторяется определенным образом (через десятки), и что, как только ты понимаешь закономерность, можно считать до бесконечности. Вот три цитаты из историй анскулеров, которые отлично иллюстрируют этот вариант игры.


Эвелин пишет о своем сыне, 4г и 3/4 (он настаивает, чтобы три четверти были добавлены): «Когда он увидел рисунки «соедини по точкам», он начал осознавать в каком порядке располагаются числа. Он начал считать вслух все время, когда ходил, когда лежал в кровати и т.д. На днях он играл с одним из своих школьных друзей, и его мама выразила удивление тем, насколько хорошо он справлялся со счетом после 10. Он досчитал для нее до 30 на Испанском и сказал, что может досчитать до миллиона на английском. С тех пор он считает с утра до вечера. Как вы можете себе вообразить, это иногда может быть непросто для окружающих, и нам приходится напоминать себе, что это скорее хорошо. Сейчас он досчитал до 5068.. Когда я объясняю окружающим, что он считает до миллиона, он поправляет: «Нет, до 10 миллионов». Надеюсь, я смогу это пережить.»


Люси из Великобритании пишет о своем сыне 5 лет: «Он досчитал до ста однажды пока одевался, просто ради удовольствия. Я понятия не имела, что он это умеет. Он любит выкладывать в ряд магниты-цифры и просит меня назвать ему число, особенно ему нравится когда число доходит до миллионов. Он уже сам может называть числа до тысяч благодаря игре с магнитами на холодильнике. Он сам понял разницу между четными и нечетными числами, гуляя по району и обращая внимания на номера домов на разных сторонах улицы. Теперь он различает их не только на домах. Еще он научился считать двойками, предсказывая номер следующего дома. Мы никогда специально не занимались арифметикой и ничего не записывали.»Кэти пишет: «Нашему старшему сыну 6 лет и его всегда завораживали числа. Он мог сосчитать до 199 до того, как ему исполнилось 4. Он любил считать сам и просил считать меня в это время двигаясь ритмично. Пока я считала он прыгал или подскакивал на диване. Он впервые открыл для себя математику когда задался вопросом, сколько у него будет предметов, если их удвоить. У нас был целый удваивательный период!»


В играх со счетом дети как правило открывают базовые концепции сложения, вычитания, умножения и деления. Осознав сами концепции, они с легкостью осваивают эти операции. Вот несколько иллюстраций на эту тему:


Джанет пишет о своей младшей дочери: «Она научилась считать как большинство тодлеров, используя пальцы и игрушки, мелкие детали, шаги на игровых полях и компьютерные игры… Это естественным образом привело к сложению и вычитанию на пальцах и предметах, а потом и в уме. Часто ни с того ни с сего она спрашивала: «Четыре плюс десять будет четырнадцать?» Я: «Да» Она: «Тогда пять плюс десять это пятнадцать, а семь плюс десять - семнадцать?» Она быстро и самостоятельно поняла закономерность в сложении и вычитании и правильно их применяла, все увеличивая числа. Этот особый интерес к числовым закономерностям был особенно ярко выражен на ее седьмом году. Сама я очень боялась математики в школе, но должна сказать, что наблюдая и разговаривая с дочкой на эту тему, я научилась заново ценить математику и лучше чем когда-либо до этого считать в уме. Я действительно любуюсь тем, как складываются ее отношения с числами.»


Мама анскулера Лори пишет: «Кое-что случилось 2 минуты назад. Мой младший сын 5ти лет строил что-то из лего, пока я была в другой комнате. Он позвал меня с улыбкой на лице, прыгая на диване. «Мама! Сколько будет 4 плюс 4 плюс 4 плюс 4?» Я сказала «16». Он улыбнулся и сказал «А сколько 8 плюс 8?» Я сказала «16». Он улыбнулся еще шире и спросил «А 2 плюс 2 плюс 2…» И он сказал 2 столько раз, чтобы получилось 16. Было очевидно, что он спрашивал, заранее зная ответ. Он не просто запомнил то, чему его кто-то научил. Он сам, через игру в лего и играя с числами в уме и на пальцах, понял эту закономерность. И он был просто в восторге. Для него это была игра.»


A-L пишет о своем сыне: «Когда ему было 3 или 4, он зашел в комнату с большим окном и заметил, что планки разделяют окно на 4 ряда по 7 квадратов. «Так - сказал он, - если посчитаю до 7 четыре раза, то получится 28.» Я не помню, чтобы мы когда-то до этого говорили с ним об умножении, но он сам догадался о том, как это работает, просто глядя на расположение квадратов на окне. Он начал экспериментировать с этим самостоятельно, раскладывая пуговицы в том же порядке, что и квадратики на окне. Ему все равно приходилось пересчитывать все пуговицы, потому что он еще не знал таблицу умножения, но он уже понимал, как это работает и что это значит.»